Dimenziók kapujában

 A Möbius-szalagról másképpen

Miért ment át a hangya a Möbius-szalagon?

Hogy eljusson ugyanarra az oldalra!

A Möbius-szalag, ez a józan észnek ellenszegülő, egy oldalú és egy élű karika a huszadik század közepén kiszabadult intellektuális elszigeteltségéből, s a porosodó irattárak, tudományos értekezések egykori tárgyából mára divattá lett. A világhálón Möbiusról elnevezett holdkrátert, biztosítótársaságot, divatcéget, zenekart, motorcsónakot ugyanúgy találhatunk, mint videokamerát vagy éppen házat. Létezik Möbius-szalagból jegygyűrű, fülbevaló, sál, karácsonyfadísz, van Möbius-bélyeg és sakk is, a síelők pedig Möbiusról neveztek el egy bonyolult akrobatikus ugrást. A Möbius név mára a változásra való fogékonyság, a különösség vagy inkább különcség, az új utak és a megújulás szimbóluma lett.

Felfedezése

A Möbius-szalag August Ferdinand Möbiusról (1790-1868) kapta a nevét. A német matematikus és elméleti csillagász felfedezése csak halála után kapott nyilvánosságot, amikor a francia tudományos akadémia irattárából előkerült az egyoldalú felület geometriájáról szóló értekezése. Érdekesség, hogy honfitársa, Johann Benedict Listing (1808-1882) – aki szintén a matematika fejedelmeként emlegetett, és a magyar Bolyai Farkas barátjaként is ismert Carl Friedrich Gauss tanítványa volt – 1858 elején, pár hónappal Möbius előtt, tőle teljesen függetlenül hasonló felfedezést tett és a szabadalmat is bejegyeztette. Mára már kideríthetetlen, hogy a találmány mégis miért Möbius nevével forrt össze.

Gyakorlati alkalmazás

1. A múlt század ötvenes éveinek végén fejlesztették ki és szabadalmaztatták a szállítószalagok egy speciális fajtáját. A szalag 180 fokkal való elforgatása lehetővé tette, hogy a teljes felület egyenletesen kopjon, s így meghosszabbodjon az életkora.
2. Hajdanán a magnószalagok is végtelenítve voltak, ami a lejátszási idő megkétszereződését eredményezte.
3. Ugyanígy működtek az írógépek és működnek egyes nyomtatók szalagjai.
4. Az 1960-as években elektromos ellenállásokat terveztek a Möbius-szalag felhasználásával.
5. Napjainkban kiemelkedő szerepet kap a huszonegyedik század technológiájában, a szupravezetők gyártásában.
6. A vegyiparban egyre nagyobb és összetettebb Möbius-molekulákat állítanak elő. A gyógyszergyártásban is hasznosítják.
7. Léteznek gyerekjátékok is, amik a Möbius-szalag elvén működnek, például egy olyan terepasztalt is sikerült megépíteni, ahol a mágnesekkel rögzített miniatűr mozdony fejjel lefelé halad át a háromdimenziós sínpálya néhány részén.
8. Kazahsztán új fővárosában, Astanában dán tervek alapján 2014-ben került átadásra a Nemzeti Könyvtár különleges épülete. A terv „négy univerzális alapformát egyesít új szimbólummá: a kör, a rotunda, az árkádív és a jurta formája Möbius-szalaggá változik” – jellemezte munkáját az építész.

Megjelenítése a képzőművészetben

Az első Möbius-szalag ihlette műalkotást, ami a Végtelen szalag nevet kapta, Max Bill készítette el gránitból 1935-ben.

A Möbius-szalagot Maurits Cornelis Escher holland grafikus (1898-1972) műveiből ismerjük leginkább. Egyik legszebb ábrázolása az a fametszet (1963), ahol 9 vörös hangya egy zárt szalagon masírozik fel-alá; jól láthatóan anélkül, hogy a felületet elhagyná. Nem véletlenül népesíti be hangyákkal Escher a végtelenített szalagot. Kijárat nélküli hatalmas útvesztő lenne a világ, ahol föl sem tudjuk mérni, hogy merre haladunk?! Egy óriási labirintus foglyai lennénk, ahonnan nincs kiút? – ez is egy lehetséges magyarázat.

Robert Rathbun Wilson (1914-2000) amerikai fizikus, a Chicagóhoz közeli Fermilab első igazgatója, aki szobrászatot is tanult Olaszországban, egy 8 láb átmérőjű háromdimenziós acél Möbius-szalagot is tervezett, ami a híres részecskegyorsító központi helyén található.

A Möbius-szalag az alkalmazott művészetben is megjelenik: az újrahasznosítás nemzetközi jele, a körbe forgó, három nyílból álló háromszög is tulajdonképpen egy Möbius-szalag. Kifejezi az ipari termelésben felhasznált anyagok körforgását: a nyersanyag – késztermék – hulladék – nyersanyag ciklusra utal. 1970 óta létezik; Gary Anderson akkori egyetemi hallgató egy nyilvános pályázatra tervezte.

Irodalom és film

Armin J. Deutch a bostoni metróról szóló regényében (1950) a földalatti újabb vonallal való bővítése után a pálya Möbius-szalagként kezd el működni és egy szerelvény eltűnik az ismeretlenbe. A könyvből film adaptáció is készült A Moebius-metró címmel (1996).

Arthur C. Clarke híres regénye A sötétség fala (1946) különös világot tár elénk: egy titokzatos, áthatolhatatlan fal veszi körül a bolygót. A két főhős annak kiderítésére indul, hogy mi van a fal másik oldalán. A Möbius-szalag és Klein-palack lenne a rejtély kulcsa?

A Möbius-szalag szerkesztési elvvé is vált: David Lynch Lost Highway – Útvesztőben című filmje ugyanott végződik, ahol elkezdődött…

A Möbius-szalag és a pszichoanalízis

A topológiának – vagyis a folytonosság általános törvényszerűségeivel foglalkozó matematikai ágnak – gondolhatnánk, vajmi kevés köze lehet az önismerethez. A francia pszichiáter, Jacques Lacan (1901-1981) sokat vitatott nézetei szerint viszont a topológia és a Möbius-szalag hozzásegíthet bennünket egy önmagunkról kialakított árnyaltabb kép megalkotásához. A „francia Freud” felhívta a figyelmet arra, hogy magunkról hajlamosak vagyunk ugyanúgy gondolkodni, mint a testünkről: tiszta körvonalak, a kint és bent éles elkülönülése; holott a dolgok ennél sokkal összetettebbek, folyamatosan átmennek egymásba.

A Möbius-szalag mint világmodell

Escher munkásságát elemezve Leonard Shlain (1937-2009) amerikai sebész, író és feltaláló A fizika és a művészet című könyvében (1991) bemutatja a Möbius-szalag kozmikus vonatkozásait. A látszólag különböző természetű tér és idő szerinte ugyanannak a téridőnek a megnyilvánulásai csupán. Különálló természetük csak illúzió, ugyanúgy mint a Möbius-szalag ellentétes oldalai, amelyek ha végigkövetjük őket, egy visszatérő, vég és kezdet nélküli folytonosságban léteznek. Úgy véli, hogy a Möbius-szalag látható formában cáfolja meg azt az arisztotelészi tételt, miszerint a szélsőségek nem egyesíthetők közvetítő beiktatása nélkül.

A Möbius-szalag „végtelenül” egyszerű és mély. A mindennapi élet csak látszólag sekély vizében is ott rejlenek a csodák, a meglepetések, az új felismerések és távlatok mindannyiunk számára. De ezek megéléséhez, régen elfeledett álmaink beteljesítéséhez el kell készítenünk a saját Möbius-szalagunkat. A hatévestől a nyolcvanévesig mindenkit érdekelni fog a feladvány: létezik-e olyan papír, aminek csak egy oldala és egy éle van?  A magabiztos „nem” válaszok ellenére mindenki alig várja majd, hogy megcáfolják.

Elkészítése

Szükségünk lesz különböző színű és szélességű papírcsíkokra, ragasztóra (vagy ragasztós felületű fehér vagy színes papírra) és ceruzára, esetleg filctollra. Jó, ha társaink is vannak, hogy tapasztalataink összeadódjanak.

1. Rövid ráhangolódásként zengjük el az ÓM hangot és figyeljünk befelé! Természetesen alkalmazhatunk bármilyen más módszert is az elcsendesülésre.
2. Mindenki válasszon egy szalagot, tegye le maga elé, majd húzza végig rajta az ujját! Ezután írjuk rá a nevünket a szalagunkra, majd rakjuk sorba a csíkokat az asztalon! Nézzünk meg mindent jól!
3. Vegyük újra a kezünkbe a magunk választotta szalagot, majd illesszük össze a két végét! Nézzük meg figyelmesen, amit kaptunk, ezután ujjunkkal kövessük végig a felületet! Hozzáfértünk-e mindenhez?
4. Újra egyenesítsük ki a csíkunkat! Most próbáljuk meg úgy összeilleszteni a szalag két végét, hogy a szalag egyik végéhez a másik végét fejjel lefelé igazítjuk hozzá. Hogyan lehetséges ez? Úgy, hogy közben 180 fokkal megcsavarjuk a szalagot.
5. Ez az állapot nem tartós: ha elengedjük szalagunkat, visszaáll az eredeti helyzet. Rögzítésre van szükség. Következő lépésként ragasszuk össze a két ellentétes oldalt! Mit használunk? Láthatatlan szalagot, ragasztót vagy esetleg megjelöljük ezt a pontot valamilyen módon?
6. Tegyük le az asztalra és vegyük szemügyre, amit kaptunk! Mihez hasonlít? Háromszög inkább vagy nyolcas formájú?
7. Ujjunkkal kövessük végig a felület élét! Sikerült? Merre jártunk? Hozzáfértünk mindenhez?
8. Fogjunk egy ceruzát és igyekezzünk a csík közepén maradva folyamatosan húzni egy vonalat ameddig csak lehet! Milyen érzés? Milyen nehézségekkel találkoztunk? Hová érkezünk?

A Möbius-szalagban rejlő bölcsesség

Hogy hová érkeztünk, az nem igazán egyértelmű, csak a ceruza nyoma jelzi. Így könnyebb felismerni, hogy ugyanoda, ahonnan elindultunk. Tehát elindulunk valahonnan, haladunk, végigmegyünk az úton, és – látszólag – ugyanoda érkezünk vissza, de mégis minden lehetséges felületet bejártunk, noha nem hagytuk el egyszer sem az adott felületet, a „valóságot”. Ez egy igazi paradigmaváltás, megváltozik a gondolkodásunk, megváltozik a nézőpontunk: ugyanazon a felületen maradunk, mégis mindenhová eljutunk. Ebből az következik, hogy nem feltétlenül a fizikai helyzetünket kell megváltoztatnunk, hanem a tudatot, s akkor nagy meglepetésben lesz részünk, végbe megy az az ugrás, amit gyerekként még oly természetesnek tartottunk, felnőttként pedig már oly régóta várva várunk.

S mi történik közben? Az anyagvilág élesen körülhatárolt, érzékszerveinkkel felfogható egyedi jelenségeitől – ahol mindennek megvan az eleje, a vége, a hossza – először eljutunk az azonosságok felismeréséhez, az azonos oldalak egyesítéséhez. Létrehozzuk saját mókuskerekünket, ami hozzáférhetetlenné teszi a „másik” oldalt.

A változás akkor indul el, amikor szembenézünk ezzel a másik oldallal, mindennek megtapasztaljuk a „fonákját” is. Erre általában nem vállalkozunk önként, csak egy válság vagy vészhelyzet kényszerítő hatására. A fordulópont tehát akkor következik be, amikor megtekerjük a szalagot: egyesítjük az ellentétes oldalakat, mert nincs más választásunk. Megfordulunk, vagy ahogy régen mondták: „megtérünk”. Ebben rejlik a Möbius-szalag eddig fel nem tárt titka. Létezik egy olyan állapot, ahol mindez megtörténhet. Ez a csodák zónája, ahol kapcsolatban vagyunk a végtelennel, ahol a szándék és a cél együtt van jelen. Ezt az élményt, amikor találkozik a véges és a végtelen, amikor összekapcsolódunk a teljességgel, ha csak pillanatokra is, kivétel nélkül mindenki megtapasztalja az életben. Sőt sokan öntudatlanul létre is tudjuk hozni, pontosabban kegyként részesülhetünk benne. Ilyenkor elhárulnak az akadályok, „véletlen” egybeesések sorozata segít bennünket céljaink elérésében mindaddig, amíg nem akarjuk magunk irányítani az eseményeket. Az eredmény azonban a legtöbbször nem tartós, sajnos sokszor gyorsan visszazökkenünk elszigeteltségünkbe.

Ahhoz, hogy ráébredjünk, az ellentétesnek látszó, egymással határos dolgok nem léteznek a többitől elválasztva, külön-külön – többre van szükség. Szalagunk elkészítése során lehetőségünk volt rá, hogy a két ellentétes vég találkozási pontját eltüntessük vagy valamilyen módon megjelöljük. Ez utóbbi eredetileg csak a kényelmünkre szolgált, mert segítségével könnyebb volt számon tartani a bejárt utat, de nagy hasznunkra is lehet. Ha hagyjuk, emlékeztet, újra ráeszméltet bennünket arra, hogy a háttérben LÉTEZIK egy összetartó, mindent és mindenkit egyesítő, személyes erő, a transzcendentális, isteni dimenzió. S akkor talán a tudomány és a tradíció sokáig szembenállónak tartott ellentétes oldalait is újra össze lehet illeszteni.

Alakja

A Möbius-szalagot nem elég csak létre hozni, „járni” is kell rajta. Ez pedig kihívásokkal teli. Az, hogy utunk során milyen nehézségekbe ütközünk, nagy mértékben befolyásolja, hogy milyen papírcsíkot választunk. A rövidebb és szélesebb szalag háromszög formát vesz fel; „bejárásakor” pedig a legtöbben sokat bukdácsolunk, nehéz a felületen maradni és tartani az irányt. Ennek az oka, az – derítették ki nemrégiben holland matematikusok – hogy a papírszalag felületén a hajlítás miatt az energiasűrűségből fakadó feszültség különböző lehet: minél erősebben meg van hajlítva az anyag, annál nagyobb. Ezzel szemben minél vékonyabb szalagot használunk, annál inkább elnyújtott alakú fektetett nyolcast kapunk.

A nyolcas szám egyrészt a végtelen matematikai jele, másrészt az égi harmónia letéteményese és az egyensúlyé. A beavatottak száma, s az új születés jegye, ezért nyolcszögűek a keresztelőkápolnák és a szenteltvíztartók is. A teremtés új ciklusa a nyolcadik napon kezdődik, a hét szűk esztendőt követő nyolcadik pedig bő termést hoz. Egy oktávval feljebb léphetünk, az anyagvilág négyzete lassan körré alakul.

Könyvajánló: http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/mobius-book.html

65/2016.

Szabó Edit

Klein-palack vagy Klein-kancsó

Két Möbius-szalag összeforgatásából létrejövő egyoldalú zárt felülettel rendelkező objektum, ami a háromdimenziós térben nem megvalósítható. A Möbius-szalagnak egy éle és egy felszíne van, a gömbnek nincs éle, de van egy külső és belső felszíne, a Klein-palacknak pedig nincs éle, csak egyetlen felszíne. Felix Christian Klein (1949) német matematikus hozta létre. A topológia vagy beszédes nevén „gumi geometria” egyik jelentős felfedezése.

Műveletek a Möbius-szalaggal

Ha a Möbius-szalagot hosszában szétvágjuk, meglepetésünkre nem két különálló, hanem egy az eredetihez képest kétszer olyan hosszú és fele olyan széles kétoldalú karikát kapunk, amin két csavarás található. Ha a műveletet ismételjük, akkor pedig két egymáshoz kapcsolódó szalag lesz az eredmény. Abból a szalagból pedig, amin három 180 fokos csavarás van szétvágva lóherecsomót kapunk.